Interés Simple - Interés Compuesto

El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un préstamo debe pagar cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar cierto interés por ese dinero.

El préstamo o depósito a interés cuenta con los siguientes elementos:

El capital, que es el monto de dinero inicial, prestado o depositado.

La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés.

El tiempo, durante el cual el dinero se encuentre prestado o depositado generando intereses.

El interés, que es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo.

El interés, como precio por el uso del dinero, se puede presentar como interés simple o como interés compuesto.

El interés simple

El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece fijo, es decir, el interés obtenido en cada intervalo de tiempo es el mismo. Este interés no se reinvierte y siempre es calculado sobre la misma base.

Para calcular cualquiera de sus elementos, es fácil aplicar una simple regla de tres. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto:

El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (K), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i):

Donde i / 100 y t está expresada en periodos de tiempo (años, meses, semestres, etc...)

La fórmula para el interés simple es:

Interés = Capital . Tasa% / 100 . t  

*Para tener en cuenta: si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo.

Por lo tanto, se puede conocer que el interés es simple cuando:

>El capital no varia

> El interés es igual en cada periodo

> Cuando no existe intereses sobre intereses.

Valor Presente Interés Simple :

VP = Capital / ( 1 + i ) exp n

Valor Futuro Interés Simple :

VF = Capital ( 1 + i*n )

Ejemplos Aplicativos Interés Simple

- Que interés trimestral produce una deuda por $ 130.000 contraída a una tasa del 15% anual?

Solución: Capital (K) = $ 130.000 ;  i = 15 % anual = 15% / 4 trimestres = 3.75% = 0,0375 trimestral ;   t= 1 trimestre 

I = 130.000 x 0,0375 x 1 = $ 4875

- Que suma se debe invertir hoy al 15 % simple anual para poder disponer de  $80.000.000 dentro de 6 meses?

K = $ 80.000.000 ; i = 15 % anual = 0.015 anual ; n = 6 meses = 6/12 años = 0.5 años 

VP=      80.000.000              =   $79.406.666, 2 

         (1 + 0,015) exp 0.5 

- El día de hoy Carlos obtuvo un prestamo por  $ 300.000, los cuales cancelara a 4 meses con una tasa de interes simple del 8% anual. ¿Cual es el monto que Carlos debe pagar finalizado el plazo?

K = $ 300.000 ;  i = 8%  = 0,666% mensual = 0,0066 ; n = 4 meses

                                  12

VF = Capital ( 1 + i*n )

VF = 300.000 ( 1 + 0,0066 * 4 )

VF =   $ 307.920

Diagrama de Flujo de Efectivo para el ejemplo de VF

El Interés Compuesto

Es el interés cobrado por un crédito y cuando se liquida, se acumula al capital , esto se conoce como " Capitalización del interés",  y hace que en la siguiente liquidación de intereses, el interés del periodo anterior forme parte del capital del nuevo interés.

En el Interés compuesto, al capitalizar los intereses, el valor que se debe pagar por concepto de intereses aumente periodo a periodo, debido a que la base (K) que se va a tener para el nuevo calculo del interés aumenta una vez liquidados los intereses respectivos.

Se usa este sistema de manera muy amplia en las matemáticas financieras. Todos los creditos que otorgan los bancos utilizan esta modalidad de interés, sin importar cual sea su modalidad.

El interés supone una reinversión de los intereses por parte de aquel que sea el prestamista.

Si una persona A le presta a otra persona B  30.000.000 al 5% mensual, gana el primer mes 1.500.000 (30.000.000 * 0.05). Luego ese 1.500.000 se los prestará a la persona C  también pagando el 5% por intereses, que equivale a 75.000 (1.500.000 * 0.05). Pero si B no llegara a pagar los intereses generados del primer mes, el prestamista no le podría prestar a C el 1.500.000, dejando de recibir ingresos por 75.000. Entonces para que A no pierda ingresos, el 1.500.000 de los intereses no pagados se los acumula al capital inicial del préstamo (Es como volverle a prestar lo ganado por intereses, ya que si no se pagan, se suman a la deuda anterior y esa deuda debe sigue generando intereses).

Podemos ver:

En el primer mes se presta a B 30.000.000.
Finalizado el mes 1, el prestamista habrá ganado un interés de 1.500.000
Para el segundo mes, se prestan esos 1.500.000 a C
Al finalizar el mes 2, se tienen 1.500.000 de intereses que paga B y 75.000 que paga C, entonces, cuando hayan transcurrido dos meses los 30.000.000 iniciales habran rentado 3.075.000 dando un total acumulado de 33.075.000 (20.000.000 de capital inicial + 3.075.000 de intereses).

Ahora bien, si B no paga sus intereses, no hay dinero para prestarle a C, pero las ganancias del prestamista deben ser las mismas, ya que los intereses que no paga B se acumulan al capital inicial para que al finalizados los dos meses las ganancias sean las mismas que si le hubiera prestado a C (3.075.000), y si a esto le sumamos el capital inicial de 30.000.000 debe dar luego de finalizados los dos meses un total de 30.075.000.

Así:

Préstamo inicial 30.000.000

Intereses mes 1: (30.000.000*0,05) = 1.500.000

Nuevo saldo: (30.000.000 + 1.500.000) = 31.500.000

Intereses mes 2:  (31.500.000*0,05) = 1.575.000

Nuevo saldo (31.500.000 + 1.575.000) = 33.075.000

En todos los casos, las ganancias del prestamista son exactamente iguales; esta es la razón de ser del interés compuesto, ya que se debe entender que los intereses mensuales ganados, se deben invertir en el mes siguiente tambien generando renta.

Fórmulas Interés Compuesto: 

- VF = VP (1 + i)^N

^{- VP = VF /}(1 + i)^N 

- N = Ln ( VF / VP ) / Ln ( 1 + i )

- i = (VF / VP ) exp 1/ N-1

                  

Donde, VF es el valor futuro del crédito (el valor inicial del crédito mas lo que se ha ganado por concepto de intereses).

VP es el valor presente del crédito, es decir, el capital inicial con el que se creo que crédito.

i Es la tasa de interés, dada en decimales (dividida entre 100).

N es el periodo de tiempo que se pone como plazo del crédito. (meses, bimestres, trimestres...)

Tomando el ejemplo antes realizado averiguaremos el VF del crédito, y para esto tenemos los siguientes datos:

VF = ?

VP =30.000.000

i = 5% = 0,05

N =2 meses

Entonces:

VF = 30.000.000 (1,05)²

VF = 30.000.000 * 1,1025

VF = 33.075.000

Si queremos saber el valor de los intereses, a VF le restamos VP y tendremos los intereses ganados durante los dos meses:

33.075.000 (VF) – 30.000.000 (VP) = 3.075.000 (i).

Ejemplo # 2

Un capital X invertido durante 5 años a una tasa de interés compuesto anual del 15 % , se ha convertido en 2.000.000 de pesos. Calcular el capital inicial, si se sabe que los intereses han sido pagados semestralmente.

  

Solución:

VP = VF / ( 1 + i ) exp n

Reemplazamos con los valores que ya tenemos:

Capital final (VF) = 2.000.000

En tasa de interés compuesto i = 15 / 100 * 2 = 0,075

Tiempo en semestres (n) = 10 

VP = 2.000.000 / (1 + 0,075) exp 10 

VP = 970.387,85

Respuesta:

El capital inicial fue de 970.000 pesos.